【三年26】专题20不等式选讲

【2022年全国甲卷】

1．已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2)若，则．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；

（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.

【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有，

所以，当且仅当时，取等号，所以.

[方法二]：基本不等式

由，，， ，

当且仅当时，取等号，所以.

（2）证明：因为，，，，由（1）得，

即，所以，

由权方和不等式知，

当且仅当，即，时取等号，

所以.

【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；

方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．

【2022年全国乙卷】

2．已知a，b，c都是正数，且，证明：

(1)；

(2)；

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；

（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．

【详解】（1）证明：因为，，，则，，，

所以，

即，所以，当且仅当，即时取等号．

（2）证明：因为，，，

所以，，，

所以，，

当且仅当时取等号．

【2021年甲卷文科】

3．已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）图像见解析；（2）

【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.

【详解】（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.

【2021年乙卷文科】

4．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）.（2）.

【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.

【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法

当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

[方法二]【最优解】：零点分段求解法

  当时，．

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得．

综上，的解集为．

（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值

依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，

,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.

[方法三]：分类讨论+分段函数法

当时，

则，此时，无解．

当时，

则，此时，由得，．

综上，a的取值范围为．

[方法四]：函数图象法解不等式   

由方法一求得后，构造两个函数和，

即和，

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，

由图易知，则．

【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．

方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，

方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；

（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；

方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法

方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；

方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.

【2020年新课标1卷理科】

5．已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）详解解析；（2）.

【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；

（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．

【详解】（1）因为，作出图象，如图所示：

（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．

所以不等式的解集为．

【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．

【2020年新课标2卷理科】

6．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求a的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.

【详解】（1）当时，.

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或.

（2）（当且仅当时取等号），

，解得：或，

的取值范围为.

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.

【2020年新课标3卷理科】

7．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【分析】（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；

（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．

【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法

，

.

均不为，则，．

［方法二］：消元法

由得，则，当且仅当时取等号，

又，所以．

［方法三］：放缩法

方式1：由题意知，又，故结论得证．

方式2：因为，

所以

．

即，当且仅当时取等号，

又，所以．

［方法四］：

因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，

不妨设则.

［方法五］：利用函数的性质

方式1：，令，

二次函数对应的图像开口向下，又，所以，

判别式，无根，

所以，即．

方式2：设，

则有a，b，c三个零点，若，

则为R上的增函数，不可能有三个零点，

所以．

（2）［方法一］【最优解】：通性通法

不妨设，因为，所以，

则．故原不等式成立．

［方法二］：

不妨设，因为，所以，且

则关于x的方程有两根，其判别式，即．

故原不等式成立．

［方法三］：

不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．

［方法四］：反证法

假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．

【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．

（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；

方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．